高考数学从零开始：复数与算法初步

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发表于 2026-05-24

更新于 2026-05-24

高考数学

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前言

复数和算法初步是高考中两个相对独立的板块。复数通常出现在选择填空的前几题，是最容易拿分的送分题之一；算法初步则通过程序框图考查逻辑思维，也是基础题。两个板块都不难，但概念必须清晰。

第一部分：复数

1.1 复数的概念

虚数单位 $i$：规定 $i^2 = -1$。

复数：形如 $z = a + bi$（$a, b \in \mathbb{R}$）的数。

分类	条件	示例
实数	$b = 0$	$z = 3$
虚数	$b \neq 0$	$z = 3 + 2i$
纯虚数	$a = 0$ 且 $b \neq 0$	$z = 2i$

复数相等：$a + bi = c + di \iff a = c$ 且 $b = d$。

易错点：只有实数才能比较大小，复数（非实数）不能比较大小。

1.2 复数的几何意义

复平面：以实部 a 为横坐标，虚部 b 为纵坐标的平面。

复数 $z = a + bi$ 对应复平面内的点 $Z(a, b)$，也对应向量 $\overrightarrow{OZ} = (a, b)$。

概念	几何意义	计算公式
模	点 Z 到原点的距离	$
共轭复数	关于实轴对称的点	$\bar{z} = a - bi$

共轭复数的性质：

$z \cdot \bar{z} = |z|^2 = a^2 + b^2$
$z + \bar{z} = 2a$（两倍实部）
$z - \bar{z} = 2bi$（两倍虚部乘以 i）
$\overline{z_1 + z_2} = \bar{z_1} + \bar{z_2}$
$\overline{z_1 \cdot z_2} = \bar{z_1} \cdot \bar{z_2}$

1.3 复数的四则运算

设 $z_1 = a + bi$，$z_2 = c + di$：

运算	结果
加法	$(a + c) + (b + d)i$
减法	$(a - c) + (b - d)i$
乘法	$(ac - bd) + (ad + bc)i$
除法	$\frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2} + \frac{bc-ad}{c^2+d^2}i$

除法技巧：分子分母同时乘以分母的共轭复数（分母实数化）。

1.4 i 的幂的周期性

$$i^1 = i, \quad i^2 = -1, \quad i^3 = -i, \quad i^4 = 1$$

$i^n$ 的值以 4 为周期循环：$i, -1, -i, 1$。

快速计算：$i^n = i^{n \bmod 4}$（将指数除以 4，用余数确定值）。
例：$i^{2025} = i^{2025 \bmod 4} = i^1 = i$。

1.5 复数中的常用结论

结论	说明
$(1 \pm i)^2 = \pm 2i$	常用变形
$\frac{1}{i} = -i$	分子分母同乘以 i
$\frac{1+i}{1-i} = i$	分子分母同乘以 $1+i$
$	z_1 \cdot z_2
$\left	\frac{z_1}{z_2}\right

1.6 易错点

易错点	正确做法
把 $3 + 2i$ 当成实数参与大小比较	非实复数不能比较大小
除法忘记分母实数化	分子分母同乘以分母的共轭
虚部忘了带 i	$z = a + bi$ 的虚部是 b，不是 bi
忽略 $a = 0, b \neq 0$ 才是纯虚数	纯虚数必须实部为 0 且虚部不为 0
i 的周期性计算错误	指数除以 4 看余数

第二部分：算法初步

2.1 算法的概念

算法：按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤。

算法的特征：

有限性：算法必须在有限步内结束
确定性：每一步都有明确的含义，不存在歧义
可行性：每一步都能通过基本操作实现
输入：有 0 个或多个输入
输出：有一个或多个输出

2.2 程序框图的基本符号

符号	名称	作用
圆角矩形	起止框	表示算法的开始和结束
平行四边形	输入/输出框	表示数据的输入和结果的输出
矩形	处理框	表示赋值、计算等操作
菱形	判断框	表示条件判断，有 2 个出口
箭头	流程线	表示执行顺序

2.3 三种基本逻辑结构

顺序结构

按顺序依次执行，没有分支和循环。

输入 a, b, c
    ↓
计算 m = (a + b + c) / 3
    ↓
输出 m

条件结构（选择结构）

根据条件是否满足选择不同的执行路径。

      条件成立？
      /       \
    是         否
    ↓          ↓
  执行 A     执行 B

注意：条件结构中两个分支必选其一，不会跳过两个分支。

循环结构

重复执行某段代码直到条件不满足。

类型	特点	说明
当型循环（while）	先判断后执行	条件满足时才执行循环体
直到型循环（until）	先执行后判断	至少执行一次

当型：条件满足？→ 是 → 执行循环体 → 回到判断
                 → 否 → 跳出循环

直到型：执行循环体 → 条件满足？→ 否 → 回到执行
                                  → 是 → 跳出循环

2.4 常见算法模式

累加/累乘

S = 0, i = 1
当 i ≤ n 时循环：
    S = S + i  （累加）
    i = i + 1
输出 S

这是求 $1 + 2 + \dots + n$ 的程序。

判断素数

输入 n
i = 2
当 i ≤ √n 时循环：
    如果 n ÷ i 的余数为 0：
        输出"不是素数"
        结束
    i = i + 1
输出"是素数"

2.5 高考考查方式

题型	考查内容
补全程序框图	根据功能补充判断框条件或处理框内容
读图求结果	给出程序框图，已知输入求输出
判断输出	分析程序框图的功能，确定输出结果

解题策略：
看清初始值（初值不同，结果可能不同）
跟踪每一步的变量变化（列表跟踪最保险）
注意循环的终止条件
注意是当型还是直到型

2.6 易错点

易错点	正确做法
循环次数算错	一步一步列出变量值，不要心算
终止条件搞反	当型循环是"满足条件就执行"，直到型是"满足条件就退出"
初值忽略	看清题目给的初始值是多少
赋值语句的方向搞错	$S = S + i$ 是把 $S + i$ 的结果赋给 $S$，不是 $S + i = S$

第三部分：复数在程序框图中的出现

有时算法题中会涉及复数运算，通常是简单的四则运算或 $i$ 的幂的周期性判断。解法就是先按程序框图跟踪变量，遇到复数运算按复数运算法则计算即可。

小结

复数与算法的核心可以归纳为一个数、一种图、三类结构：

一个数：复数 $z = a + bi$（运算、共轭、模）
一种图：程序框图（符号、流程）
三类结构：顺序、条件、循环

复数是高考送分题，必须保证 100% 正确率。算法题的关键是耐心地一步一步跟踪变量变化，不要跳步。

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